$9x^{2}-16y^{2}=144$ અને $x^{2}+y^{2}=9$ નો સામાન્ય સ્પર્શક છે

અતિવલય $x^2 - y^2 = 25$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

અતિવલય $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$ ના નાભિલંબના એક અંત્યબિંદુ (પ્રથમ ચરણમાં) આગળનો સ્પર્શક $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષને અનુક્રમે $A$ અને $B$ માં મળે છે. તો $(OA)^2 - (OB)^2$ ની કિંમત શોધો,જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે.

જો એક વર્તુળ લંબચોરસ અતિવલય $xy = c^2$ ને ચાર બિંદુઓ $A, B, C,$ અને $D$ માં છેદે છે,અને આ ચાર બિંદુઓના પ્રાચલો અનુક્રમે $t_1, t_2, t_3,$ અને $t_4$ છે,તો નીચેનામાંથી શું સાચું છે?

$P(a \sec \theta, b \tan \theta)$ અને $Q(a \sec \phi, b \tan \phi)$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ પરના બે બિંદુઓ છે જ્યાં $\phi+\theta=\frac{\pi}{2}$ છે. જો $(h, k)$ એ $P$ અને $Q$ આગળ દોરેલા અભિલંબનું છેદબિંદુ હોય,તો $k=$

ધારો કે ઉપવલય $E: \frac{x^{2}}{144}+\frac{y^{2}}{169}=1$ અને અતિવલય $H: \frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{\lambda^{2}}=-1$ ના નાભિ સમાન છે. જો $e$ અને $L$ અનુક્રમે $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ દર્શાવતા હોય, તો $24(e+L)$ ની કિંમત શોધો.