int sin ^{-1}left(frac{2 x}{1+x^2}right) d x= | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}ight) d x$.$x = 	an t$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \sec^2 t dt$ प्राप्त होता है।अतः समाकलन $I =

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$2 x 	an ^{-1} x-\log \left(1+x^2ight)+c$,जहाँ $c$ एक समाकलन स्थिरांक है।

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}ight) d x$.$x = 	an t$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \sec^2 t dt$ प्राप्त होता है।अतः समाकलन $I = \int \sin^{-1}(\sin 2t) \sec^2 t dt = \int 2t \sec^2 t dt$ होगा।खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर: $\int u dv = uv - \int v du$,जहाँ $u = 2t$ और $dv = \sec^2 t dt$.$I = 2t 	an t - \int 2 	an t dt = 2t 	an t - 2 \log |\sec t| + c$.चूँकि $\sec t = \sqrt{1 + 	an^2 t} = \sqrt{1 + x^2}$,इसलिए $\log |\sec t| = \log (1 + x^2)^{1/2} = \frac{1}{2} \log (1 + x^2)$ होता है।मान वापस रखने पर: $I = 2x 	an^{-1} x - 2(\frac{1}{2} \log (1 + x^2)) + c = 2x 	an^{-1} x - \log (1 + x^2) + c$.

$\int \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right) d x=$

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$\int \cos^{-1} x \, dx =$

$\int e^{-3 x}\left(x^2+\sin 4 x\right) d x=$

$\int {{x^5}{e^{{x^2}}}} dx = $

समाकल $\int \sin(\log x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int e^{\sqrt{x}} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए ($A$ एक स्वेच्छ अचर है)।

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