int cos (log x) d x= | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \cos (\log x) d x$. $\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है। अतः,$I = \int e^t \cos t dt$. खंड

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$\frac{x}{2}(\cos (\log x)+\sin (\log x))+c$,(जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है)

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \cos (\log x) d x$. $\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है। अतः,$I = \int e^t \cos t dt$. खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर: $I = \cos t \cdot e^t - \int (-\sin t) \cdot e^t dt = e^t \cos t + \int e^t \sin t dt$. पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $I = e^t \cos t + [\sin t \cdot e^t - \int \cos t \cdot e^t dt] = e^t \cos t + e^t \sin t - I$. इस प्रकार,$2I = e^t (\cos t + \sin t) + c_1$. $I = \frac{e^t}{2} (\cos t + \sin t) + c$. $t = \log x$ और $e^t = x$ का मान वापस रखने पर: $I = \frac{x}{2} (\cos (\log x) + \sin (\log x)) + c$.

$\int \cos (\log x) d x=$

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