int frac{x+1}{x(1+x e^x)^2} d x= | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int \frac{x+1}{x(1+x e^x)^2} dx$. अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर: $I = \int \frac{e^x(x+1)}{x e^x(1+x e^x)^2} dx$. माना $t = x e^x$

Vedclass · Accepted Answer

$\log \left|\frac{x e^x}{1+x e^x}\right|+\frac{1}{1+x e^x}+c$,जहाँ $c$ एक समाकलन स्थिरांक है।

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int \frac{x+1}{x(1+x e^x)^2} dx$. अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर: $I = \int \frac{e^x(x+1)}{x e^x(1+x e^x)^2} dx$. माना $t = x e^x$. तब $dt = (e^x + x e^x) dx = e^x(1+x) dx$. इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \frac{dt}{t(1+t)^2}$. आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{t(1+t)^2} = \frac{A}{t} + \frac{B}{1+t} + \frac{C}{(1+t)^2}$. स्थिरांकों का मान ज्ञात करने पर: $1 = A(1+t)^2 + Bt(1+t) + Ct$. $t=0$ के लिए,$A=1$. $t=-1$ के लिए,$C=-1$. $t^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर,$A+B=0 \Rightarrow B=-1$. अतः,$I = \int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t} - \frac{1}{(1+t)^2} \right) dt$. $I = \log |t| - \log |1+t| + \frac{1}{1+t} + c$. $t = x e^x$ वापस रखने पर: $I = \log |x e^x| - \log |1+x e^x| + \frac{1}{1+x e^x} + c$. $I = \log \left| \frac{x e^x}{1+x e^x} \right| + \frac{1}{1+x e^x} + c$.

$\int \frac{x+1}{x(1+x e^x)^2} d x=$

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