मान लीजिए f(x) = int frac{x}{(x^2+1)(x^2+3)} | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \int \frac{x}{(x^2+1)(x^2+3)} dx$। मान लीजिए $x^2 = t$,तब $2x dx = dt$,अर्थात $x dx = \frac{1}{2} dt$। इन मानों को समाकलन में

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$\frac{1}{4} \log \left(\frac{1}{3}\right)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = \int \frac{x}{(x^2+1)(x^2+3)} dx$। मान लीजिए $x^2 = t$,तब $2x dx = dt$,अर्थात $x dx = \frac{1}{2} dt$। इन मानों को समाकलन में रखने पर: $f(x) = \frac{1}{2} \int \frac{1}{(t+1)(t+3)} dt$। आंशिक भिन्न (partial fractions) का उपयोग करने पर: $\frac{1}{(t+1)(t+3)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{t+1} - \frac{1}{t+3} \right)$। अतः,$f(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{t+1} - \frac{1}{t+3} \right) dt = \frac{1}{4} [\log|t+1| - \log|t+3|] + C = \frac{1}{4} \log \left( \frac{x^2+1}{x^2+3} \right) + C$। दिया गया है $f(3) = \frac{1}{4} \log \left( \frac{5}{6} \right)$,इसलिए: $\frac{1}{4} \log \left( \frac{3^2+1}{3^2+3} \right) + C = \frac{1}{4} \log \left( \frac{10}{12} \right) + C = \frac{1}{4} \log \left( \frac{5}{6} \right) + C$। इसकी तुलना करने पर,हमें $C = 0$ प्राप्त होता है। अतः,$f(x) = \frac{1}{4} \log \left( \frac{x^2+1}{x^2+3} \right)$। अंत में,$f(0) = \frac{1}{4} \log \left( \frac{0^2+1}{0^2+3} \right) = \frac{1}{4} \log \left( \frac{1}{3} \right)$।

मान लीजिए $f(x) = \int \frac{x}{(x^2+1)(x^2+3)} dx$ है। यदि $f(3) = \frac{1}{4} \log \left(\frac{5}{6}\right)$ है,तो $f(0)$ ज्ञात कीजिए।

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