int log (1+x)^{1+x} ,dx= | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \log (1+x)^{1+x} \,dx$.गुणधर्म $\log(a^b) = b \log a$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$I = \int (1+x) \log (1+x) \,dx$.$t = 1

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$\frac{(1+x)^2}{2}\left[\log (1+x)-\frac{1}{2}\right]+c$,जहाँ $c$ एक समाकलन स्थिरांक है।

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \log (1+x)^{1+x} \,dx$.गुणधर्म $\log(a^b) = b \log a$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$I = \int (1+x) \log (1+x) \,dx$.$t = 1+x$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = dx$ होगा।$I = \int t \log t \,dt$.खंडशः समाकलन विधि $\int u v \,dt = u \int v \,dt - \int (u' \int v \,dt) \,dt$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = \log t$ और $v = t$ है:$I = \log t \cdot \frac{t^2}{2} - \int (\frac{1}{t} \cdot \frac{t^2}{2}) \,dt$.$I = \frac{t^2}{2} \log t - \frac{1}{2} \int t \,dt$.$I = \frac{t^2}{2} \log t - \frac{1}{2} \cdot \frac{t^2}{2} + c$.$I = \frac{t^2}{2} [\log t - \frac{1}{2}] + c$.$t = 1+x$ वापस रखने पर:$I = \frac{(1+x)^2}{2} [\log (1+x) - \frac{1}{2}] + c$.

$\int \log (1+x)^{1+x} \,dx=$

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$\int {\frac{{{{\cot }^{ - 1}}({e^x})}}{{{e^x}}}} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int(1+x) \log x \, dx =$

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