int sin sqrt{x} ,d x=ldots+C (जहाँ C समाकलन क | vedclass

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Question

(A) $\int \sin \sqrt{x} \,d x$ का मान ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $\sqrt{x} = t$। तब $x = t^2$,जिसका अर्थ है $d x = 2t \,d t$। इन मानों को समाकलन में

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$2(-\sqrt{x} \cos \sqrt{x}+\sin \sqrt{x})$

Vedclass · Answer

(A) $\int \sin \sqrt{x} \,d x$ का मान ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $\sqrt{x} = t$। तब $x = t^2$,जिसका अर्थ है $d x = 2t \,d t$। इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\int \sin \sqrt{x} \,d x = \int \sin t (2t \,d t) = 2 \int t \sin t \,d t$। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,जहाँ $\int u \,dv = uv - \int v \,du$,मान लीजिए $u = t$ और $dv = \sin t \,d t$। तब $du = d t$ और $v = -\cos t$। $2 \int t \sin t \,d t = 2 \left[ t(-\cos t) - \int (-\cos t) \,d t \right]$ $= 2 [-t \cos t + \int \cos t \,d t]$ $= 2 [-t \cos t + \sin t] + C$। $t = \sqrt{x}$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $= 2(-\sqrt{x} \cos \sqrt{x} + \sin \sqrt{x}) + C$।

$\int \sin \sqrt{x} \,d x=\ldots+C$ (जहाँ $C$ समाकलन का एक स्थिरांक है।)

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