$\binom{n}{0} + 2\binom{n}{1} + 2^2\binom{n}{2} + \dots + 2^n\binom{n}{n}$ का मान क्या है?

एक वास्तविक संख्या $r$ के लिए,$[r]$ को $r$ से कम या उसके बराबर सबसे बड़े पूर्णांक के रूप में दर्शाया गया है। मान लीजिए $a > 1$ एक वास्तविक संख्या है जो पूर्णांक नहीं है,और $k$ सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक है जिसके लिए $[a^k] > [a]^k$ है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा कथन हमेशा सत्य है?

यदि $f(x)=(2011+x)^n$ है,जहाँ $x$ एक वास्तविक चर है और $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है,तो $f(0)+f^{\prime}(0)+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !}+\ldots+\frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1) !}$ का मान क्या है?

यदि $a$ और $b$ भिन्न पूर्णांक हैं,तो सिद्ध कीजिए कि $a-b$,$a^{n}-b^{n}$ का एक गुणनखंड है,जहाँ $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है।

मान लीजिए कि $2021^{2020}$ को $2020^2$ से विभाजित करने पर शेषफल $r$ प्राप्त होता है। तो $r$ किसके बीच स्थित है?

$(102)^4 = ?$