{left[ {1 + frac{1}{{2!}} + frac{1}{{4!}} + d | vedclass

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Question

(B) हम जानते हैं कि $e^x$ का विस्तार $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \infty$ है। $x = 1$ के लिए,$e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{

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$1$

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(B) हम जानते हैं कि $e^x$ का विस्तार $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \infty$ है। $x = 1$ के लिए,$e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dots \infty$. $x = -1$ के लिए,$e^{-1} = 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots \infty$. इन दोनों को जोड़ने पर,$e + e^{-1} = 2(1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \dots \infty)$,इसलिए $1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \dots \infty = \frac{e + e^{-1}}{2}$. इन दोनों को घटाने पर,$e - e^{-1} = 2(1 + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \dots \infty)$,इसलिए $1 + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \dots \infty = \frac{e - e^{-1}}{2}$. इन मानों को व्यंजक में रखने पर: ${\left( \frac{e + e^{-1}}{2} ight)^2} - {\left( \frac{e - e^{-1}}{2} ight)^2} = \frac{1}{4} \left[ (e + e^{-1})^2 - (e - e^{-1})^2 ight]$. सर्वसमिका $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{1}{4} 	imes 4 	imes e 	imes e^{-1} = 1$ प्राप्त होता है।

${\left[ {1 + \frac{1}{{2!}} + \frac{1}{{4!}} + \dots \infty } \right]^2} - {\left[ {1 + \frac{1}{{3!}} + \frac{1}{{5!}} + \dots \infty } \right]^2} = $

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$\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}(\frac{k(k+1)}{k!})$ का मान है :

$1 + \frac{1 + 2}{2!} + \frac{1 + 2 + 3}{3!} + \frac{1 + 2 + 3 + 4}{4!} + \dots \infty = $

$1 + \frac{2}{3!} + \frac{3}{5!} + \frac{4}{7!} + \dots \infty = \,$

$(e^x - 1)(e^{-x} + 1)$ के विस्तार में,$x^3$ का गुणांक है

श्रेणी $C = 1 + \frac{\cos x}{1!} + \frac{\cos 2x}{2!} + \frac{\cos 3x}{3!} + \dots$ और $S = \frac{\sin x}{1!} + \frac{\sin 2x}{2!} + \frac{\sin 3x}{3!} + \dots$ का योग किसके बराबर है?

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