एक सिक्के को क्रमिक रूप से दो बार उछाला जाता है। मान लीजिए $X$ दो उछालों में चित्त (tails) की संख्या को दर्शाता है,तो $X$ का प्रायिकता वितरण है:

एक छह-फलकीय पासा इस प्रकार पक्षपाती है कि $3 \times P(\text{अभाज्य संख्या}) = 6 \times P(\text{भाज्य संख्या}) = 2 \times P(1)$। मान लीजिए $X$ एक यादृच्छिक चर है जो इस पासे को फेंकने पर पूर्ण वर्ग आने की संख्या को गिनता है। यदि पासे को दो बार फेंका जाता है,तो $X$ का माध्य ज्ञात कीजिए।

यदि $x$ एक यादृच्छिक चर (random variable) है जिसका $PMF$ इस प्रकार है: $P(X = x) = \begin{cases} \frac{5}{16}, & x = 0, 1 \\ \frac{kx}{48}, & x = 2 \\ \frac{1}{4}, & x = 3 \end{cases}$ तो $E(x)$ ज्ञात कीजिए।

$3$ दोषपूर्ण वस्तुओं वाले $12$ वस्तुओं के लॉट से,$5$ वस्तुओं का एक नमूना यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। मान लीजिए कि यादृच्छिक चर $X$ नमूने में दोषपूर्ण वस्तुओं की संख्या को दर्शाता है। मान लीजिए कि नमूने में वस्तुओं को एक-एक करके बिना प्रतिस्थापन के निकाला जाता है। यदि $X$ का प्रसरण $\frac{m}{n}$ है,जहाँ $\operatorname{gcd}(m, n)=1$,तो $n-m$ का मान .......... है।

एक सर्विस स्टेशन मैनेजर बरसात के दिन ₹ $100$ प्रति घंटा,संदिग्ध दिन ₹ $150$ प्रति घंटा,सामान्य दिन ₹ $250$ प्रति घंटा और साफ आसमान वाले दिन ₹ $300$ प्रति घंटा की औसत दर से गैस बेचता है। यदि मौसम ब्यूरो के आंकड़े मौसम की संभावनाएं इस प्रकार दिखाते हैं,तो उसकी गणितीय प्रत्याशा क्या है?

मौसम	साफ (Clear)	सामान्य (Fair)	संदिग्ध (Dubious)	बरसात (Rainy)
संभावना	$0.50$	$0.30$	$0.15$	$0.05$

मान लीजिए कि तीन सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। यदि $X$ चितों (heads) की संख्या को दर्शाता है,तो $X$ का प्रायिकता बंटन क्या है?