1 + frac{1 + x}{2!} + frac{1 + x + x^2}{3!} + | vedclass

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Question

(D) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{1 + x + x^2 + \dots + x^{n-1}}{n!}$ है।गुणोत्तर श्रेणी के योग का उपयोग करते हुए,$T_n = \frac{1 - x^n}{1 - x} \cd

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$\frac{e^x - e}{x - 1}$

Vedclass · Answer

(D) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{1 + x + x^2 + \dots + x^{n-1}}{n!}$ है।गुणोत्तर श्रेणी के योग का उपयोग करते हुए,$T_n = \frac{1 - x^n}{1 - x} \cdot \frac{1}{n!} = \frac{x^n - 1}{(x - 1)n!} = \frac{1}{x - 1} \left( \frac{x^n}{n!} - \frac{1}{n!} \right)$.$n = 1$ से $\infty$ तक योग करने पर,$\sum_{n=1}^{\infty} T_n = \frac{1}{x - 1} \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \right)$.चूंकि $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x - 1$ और $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} = e - 1$,$\sum_{n=1}^{\infty} T_n = \frac{1}{x - 1} ((e^x - 1) - (e - 1)) = \frac{e^x - e}{x - 1}$.

$1 + \frac{1 + x}{2!} + \frac{1 + x + x^2}{3!} + \frac{1 + x + x^2 + x^3}{4!} + \dots \infty = $

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$\frac{e^2 + 1}{2e} = $

$1 + \frac{2}{3!} + \frac{3}{5!} + \frac{4}{7!} + \dots \infty = \,$

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