एक चतुष्फलक के शीर्ष P(1,2,1), Q(2,1,3), R(-1 | vedclass

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Question

(C) $O(0,0,0), P(1,2,1)$ और $Q(2,1,3)$ से गुजरने वाले समतल $OPQ$ का समीकरण सारणिक द्वारा दिया गया है: $\begin{vmatrix} x & y & z \ 1 & 2 & 1 \ 2 & 1

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$\cos ^{-1}\left(\frac{19}{35}\right)$

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(C) $O(0,0,0), P(1,2,1)$ और $Q(2,1,3)$ से गुजरने वाले समतल $OPQ$ का समीकरण सारणिक द्वारा दिया गया है: $\begin{vmatrix} x & y & z \ 1 & 2 & 1 \ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 0$ $x(6-1) - y(3-2) + z(1-4) = 0 \Rightarrow 5x - y - 3z = 0$. समतल $OPQ$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = 5\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$ है। $P(1,2,1), Q(2,1,3)$ और $R(-1,1,2)$ से गुजरने वाले समतल $PQR$ का समीकरण: $\begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-1 \ 2-1 & 1-2 & 3-1 \ -1-1 & 1-2 & 2-1 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-1 \ 1 & -1 & 2 \ -2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$ $(x-1)(-1+2) - (y-2)(1+4) + (z-1)(-1-2) = 0$ $(x-1) - 5(y-2) - 3(z-1) = 0 \Rightarrow x - 5y - 3z + 12 = 0$. समतल $PQR$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = \hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$ है। दो समतलों के बीच का कोण $	heta$ इस प्रकार है: $\cos 	heta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{|(5)(1) + (-1)(-5) + (-3)(-3)|}{\sqrt{5^2 + (-1)^2 + (-3)^2} \sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-3)^2}}$ $\cos 	heta = \frac{|5 + 5 + 9|}{\sqrt{25+1+9} \sqrt{1+25+9}} = \frac{19}{\sqrt{35} \sqrt{35}} = \frac{19}{35}$ अतः,$	heta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{35}ight)$.

एक चतुष्फलक के शीर्ष $P(1,2,1), Q(2,1,3), R(-1,1,2)$ और $O(0,0,0)$ हैं। तो फलक $OPQ$ और $PQR$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

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यदि $M$, $A(4, 5, -10)$ और $B(-1, 2, 1)$ को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु है, तो $M$ से गुजरने वाले और $AB$ के लंबवत समतल का समीकरण है:

$x, y, z$ अक्षों पर अंतःखंड क्रमशः $1, 2, 4$ वाले समतल का समीकरण है

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