एक चतुष्फलक के शीर्ष $O(0,0,0)$,$A(1,2,1)$,$B(2,1,3)$,और $C(-1,1,2)$ हैं। तो फलक $OAB$ और $ABC$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इस प्रकार दिए गए हैं: $\vec{a} = a_{1} \hat{i}+a_{2} \hat{j}+a_{3} \hat{k}$,$\vec{b} = b_{1} \hat{i}+b_{2} \hat{j}+b_{3} \hat{k}$,और $\vec{c} = c_{1} \hat{i}+c_{2} \hat{j}+c_{3} \hat{k}$। तो सिद्ध कीजिए कि $\vec{a} \times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \times \vec{b}+\vec{a} \times \vec{c}$।

मान लीजिए $\vec{a}=3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{c}=2 \hat{i}-3 \hat{j}+3 \hat{k}$ है। यदि $\vec{b}$ एक ऐसा सदिश है कि $\vec{a}=\vec{b} \times \vec{c}$ और $|\vec{b}|^2=50$ है,तो $|72-| \vec{b}+\vec{c}|^2 |$ का मान $..........$ है।

मान लीजिए $\overline{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ और $\overline{b}=\hat{i}+\hat{j}$ है। यदि $\overline{c}$ एक ऐसा सदिश है कि $\overline{a} \cdot \overline{c}=|\overline{c}|$,$|\overline{c}-\overline{a}|=2 \sqrt{2}$ और $\overline{a} \times \overline{b}$ तथा $\overline{c}$ के बीच का कोण $\frac{2 \pi}{3}$ है,तो $|(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c}|=$

यदि $\hat{i}+y \hat{j}$,$\hat{i}+2 \hat{k}$ और $3 \hat{j}+\hat{k}$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\sqrt{6}$ वर्ग इकाई है,तो $y$ के मान ज्ञात कीजिए।

सदिश $\vec{a} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ के लंबवत और सदिशों $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ तथा $\vec{c} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ के साथ समतलीय इकाई सदिश क्या है?