एक इकाई सदिश hat{a},hat{i} के साथ frac{pi}{3} | vedclass

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Question

(A) माना इकाई सदिश $\hat{a}$ के दिशा कोण $\alpha, \beta, 	ext{ और } \gamma$ हैं।दिया गया है कि $\alpha = \frac{\pi}{3}$,$\beta = \frac{\pi}{4}$,और $\

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$\frac{2 \pi}{3}$

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(A) माना इकाई सदिश $\hat{a}$ के दिशा कोण $\alpha, \beta, 	ext{ और } \gamma$ हैं।दिया गया है कि $\alpha = \frac{\pi}{3}$,$\beta = \frac{\pi}{4}$,और $\gamma = 	heta$ है।हम जानते हैं कि किसी भी इकाई सदिश के लिए,दिशा कोज्याओं (direction cosines) के वर्गों का योग $1$ होता है:$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:$\cos^2 \left(\frac{\pi}{3}ight) + \cos^2 \left(\frac{\pi}{4}ight) + \cos^2 	heta = 1$$\left(\frac{1}{2}ight)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}ight)^2 + \cos^2 	heta = 1$$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 	heta = 1$$\frac{3}{4} + \cos^2 	heta = 1$$\cos^2 	heta = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$$\cos 	heta = \pm \frac{1}{2}$चूंकि $	heta \in (0, \pi)$,हमारे पास दो संभावित मान हैं:यदि $\cos 	heta = \frac{1}{2}$,तो $	heta = \frac{\pi}{3}$ है।यदि $\cos 	heta = -\frac{1}{2}$,तो $	heta = \frac{2\pi}{3}$ है।दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$\frac{2\pi}{3}$ सही उत्तर है।

एक इकाई सदिश $\hat{a}$,$\hat{i}$ के साथ $\frac{\pi}{3}$,$\hat{j}$ के साथ $\frac{\pi}{4}$ और $\hat{k}$ के साथ $\theta \in (0, \pi)$ का कोण बनाता है,तो $\theta$ का मान है:

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यदि एक रेखा $x, y$ और $z$-अक्षों के साथ क्रमशः $90^{\circ}, 135^{\circ}$ और $45^{\circ}$ का कोण बनाती है,तो इसकी दिक्-कोसाइन (direction cosines) ज्ञात कीजिए।

उन रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए जिनके दिक्-अनुपात समीकरणों $l+m+n=0$ और $l^2=m^2+n^2$ को संतुष्ट करते हैं।

$P(7, -5, 11)$ और $Q(-2, 8, 13)$ बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड का,$\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}$ दिककोसाइन वाली रेखा $AB$ पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।

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