int_0^1 frac{8 log (1+x)}{1+x^2} ,d x= | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) $	ext{ધારો કે } I = \int_0^1 \frac{8 \log (1+x)}{1+x^2} \,dx. x = 	an 	heta 	ext{ આદેશ લેતા } dx = \sec^2 	heta \,d	heta 	ext{ મળે.} 	ext{

Vedclass · Accepted Answer

$\pi \log 2$

Vedclass · Answer

(B) $	ext{ધારો કે } I = \int_0^1 \frac{8 \log (1+x)}{1+x^2} \,dx. x = 	an 	heta 	ext{ આદેશ લેતા } dx = \sec^2 	heta \,d	heta 	ext{ મળે.} 	ext{જ્યારે } x = 0, 	ext{ત્યારે } 	heta = 0; 	ext{જ્યારે } x = 1, 	ext{ત્યારે } 	heta = \frac{\pi}{4}. I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{8 \log (1+	an 	heta)}{1+	an^2 	heta} \cdot \sec^2 	heta \,d	heta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 8 \log (1+	an 	heta) \,d	heta \quad \dots(i) 	ext{ગુણધર્મ } \int_0^a f(	heta) \,d	heta = \int_0^a f(a-	heta) \,d	heta 	ext{ નો ઉપયોગ કરતા:} I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 8 \log \left(1 + 	an\left(\frac{\pi}{4} - 	hetaight)ight) \,d	heta 	ext{કારણ કે } 	an\left(\frac{\pi}{4} - 	hetaight) = \frac{1-	an 	heta}{1+	an 	heta}, 	ext{તેથી:} I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 8 \log \left(1 + \frac{1-	an 	heta}{1+	an 	heta}ight) \,d	heta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 8 \log \left(\frac{2}{1+	an 	heta}ight) \,d	heta \quad \dots(ii) (i) 	ext{ અને } (ii) 	ext{ નો સરવાળો કરતા:} 2I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 8 \left[ \log(1+	an 	heta) + \log\left(\frac{2}{1+	an 	heta}ight) ight] \,d	heta 2I = 8 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left( (1+	an 	heta) \cdot \frac{2}{1+	an 	heta} ight) \,d	heta 2I = 8 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log 2 \,d	heta = 8 \log 2 [	heta]_0^{\frac{\pi}{4}} = 8 \log 2 \cdot \frac{\pi}{4} = 2\pi \log 2. 	ext{તેથી } I = \pi \log 2.$

$\int_0^1 \frac{8 \log (1+x)}{1+x^2} \,d x=$

Similar Questions

$\int_{-\pi}^\pi \frac{x \sin ^3 x}{4-\cos ^2 x} d x=$

ધારો કે $I_n = \int_0^{\pi / 2} x^n \cos x \, dx$,જ્યાં $n$ એ અ-ઋણ પૂર્ણાંક છે. તો,$\sum_{n=2}^{\infty} \left( \frac{I_n}{n!} + \frac{I_{n-2}}{(n-2)!} \right)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $[t]$ એ $t$ થી નાનો અથવા તેના બરાબર મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે. તો $\int_1^2 |2x - [3x]| dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

સાબિત કરો કે $\int_{0}^{a} f(x) g(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$,જો $f(x) = f(a-x)$ અને $g(x) + g(a-x) = 4$ હોય.

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {\sin 2\theta } } \sin \theta \,d\theta$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module