$\int \frac{e^x(1+x)}{\sin ^2(x \cdot e^x)} dx = $ . . . . . . $+ C$.

$\int (x + 3)({x^2} + 6x + 10)^9 \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
अभिकथन $(A):$ $\frac{1}{x^2 + a^2}$ को प्रतिस्थापन $x = a \tan \theta$ द्वारा समाकलित किया जा सकता है।
कारण $(R):$ क्योंकि सभी समाकल्यों को केवल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ही समाकलित किया जाता है।
इनमें से कौन सा सही है?

$x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए,यदि $y(x) = \int \frac{\operatorname{cosec} x + \sin x}{\operatorname{cosec} x \sec x + \tan x \sin^2 x} \, dx$ और $\lim_{x \rightarrow (\frac{\pi}{2})^-} y(x) = 0$ है,तो $y\left(\frac{\pi}{4}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int \frac{d x}{(x+100) \sqrt{x+99}} = f(x) + c$ है,तो $f(x)$ ज्ञात कीजिए।

यदि $f_n(x) = \log \log \log \ldots \log x$ (जहाँ $\log$ $n$ बार दोहराया गया है), तो $\int (x f_1(x) f_2(x) \ldots f_n(x))^{-1} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।