int e^x cdot cos 2x , dx = . . . . . . + C | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int e^x \cos 2x \, dx$. खंडशः समाकलन (integration by parts) सूत्र $\int u \cdot v \, dx = u \int v \, dx - \int (u' \int v \, dx) \, dx

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{e^x}{5}(\cos 2x + 2 \sin 2x)$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int e^x \cos 2x \, dx$. खंडशः समाकलन (integration by parts) सूत्र $\int u \cdot v \, dx = u \int v \, dx - \int (u' \int v \, dx) \, dx$ का उपयोग करते हुए,$u = \cos 2x$ और $v = e^x$ लें। $I = \cos 2x \cdot e^x - \int (-2 \sin 2x) \cdot e^x \, dx = e^x \cos 2x + 2 \int e^x \sin 2x \, dx$. पुनः $\int e^x \sin 2x \, dx$ के लिए $u = \sin 2x$ और $v = e^x$ लेकर खंडशः समाकलन करने पर: $\int e^x \sin 2x \, dx = \sin 2x \cdot e^x - \int (2 \cos 2x) \cdot e^x \, dx = e^x \sin 2x - 2I$. इस मान को $I$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $I = e^x \cos 2x + 2(e^x \sin 2x - 2I) = e^x \cos 2x + 2e^x \sin 2x - 4I$. $5I = e^x(\cos 2x + 2 \sin 2x)$. $I = \frac{e^x}{5}(\cos 2x + 2 \sin 2x) + C$. अतः,सही विकल्प $D$ है।

$\int e^x \cdot \cos 2x \, dx = $ . . . . . . $+ C$.

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