यदि int f(x) dx = psi(x) है,तो int x^5 f(x^3) | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $\int f(x) dx = \psi(x)$.माना $I = \int x^5 f(x^3) dx$.इसे $I = \int x^3 \cdot x^2 f(x^3) dx$ के रूप में लिखा जा सकता है।माना $x^3

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$\frac{1}{3} x^3 \psi(x^3) - \int x^2 \psi(x^3) dx + c$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है कि $\int f(x) dx = \psi(x)$.माना $I = \int x^5 f(x^3) dx$.इसे $I = \int x^3 \cdot x^2 f(x^3) dx$ के रूप में लिखा जा सकता है।माना $x^3 = t$,तब $3x^2 dx = dt$,जिसका अर्थ है कि $x^2 dx = \frac{1}{3} dt$.इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \int t \cdot f(t) \cdot \frac{1}{3} dt = \frac{1}{3} \int t f(t) dt$.खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u dv = uv - \int v du$,जहाँ $u = t$ और $dv = f(t) dt$:$I = \frac{1}{3} [t \int f(t) dt - \int (\frac{d}{dt}(t) \cdot \int f(t) dt) dt] + c$.चूँकि $\int f(t) dt = \psi(t)$:$I = \frac{1}{3} [t \psi(t) - \int \psi(t) dt] + c$.$t = x^3$ और $dt = 3x^2 dx$ रखने पर:$I = \frac{1}{3} [x^3 \psi(x^3) - \int \psi(x^3) \cdot 3x^2 dx] + c$.$I = \frac{1}{3} [x^3 \psi(x^3) - 3 \int x^2 \psi(x^3) dx] + c$.$I = \frac{1}{3} x^3 \psi(x^3) - \int x^2 \psi(x^3) dx + c$.

यदि $\int f(x) dx = \psi(x)$ है,तो $\int x^5 f(x^3) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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