sec(text{cosec}^{-1}x) किसके बराबर है? | vedclass

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Question

(A) माना $	heta = 	ext{cosec}^{-1}x$. तब $	ext{cosec}	heta = x$,जहाँ $|x| \ge 1$ और $	heta \in [-\frac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \frac{\pi}{2}]$.हमें

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$	ext{cosec}(\sec^{-1}x)$

Vedclass · Answer

(A) माना $	heta = 	ext{cosec}^{-1}x$. तब $	ext{cosec}	heta = x$,जहाँ $|x| \ge 1$ और $	heta \in [-\frac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \frac{\pi}{2}]$.हमें $\sec(	ext{cosec}^{-1}x) = \sec	heta$ का मान ज्ञात करना है।चूंकि $	ext{cosec}	heta = x$,इसलिए $\sin	heta = \frac{1}{x}$ है।सर्वसमिका $\cos^2	heta = 1 - \sin^2	heta = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$ का उपयोग करने पर,$\cos	heta = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{|x|}$ प्राप्त होता है।अतः,$\sec	heta = \frac{1}{\cos	heta} = \frac{|x|}{\sqrt{x^2 - 1}}$.अब,$	ext{cosec}(\sec^{-1}x)$ पर विचार करें। माना $\phi = \sec^{-1}x$. तब $\sec\phi = x$,अर्थात $\cos\phi = \frac{1}{x}$ है।तब $\sin\phi = \sqrt{1 - \cos^2\phi} = \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{|x|}$ होगा।इस प्रकार,$	ext{cosec}\phi = \frac{1}{\sin\phi} = \frac{|x|}{\sqrt{x^2 - 1}}$.चूंकि दोनों व्यंजक $\frac{|x|}{\sqrt{x^2 - 1}}$ के बराबर हैं,इसलिए $\sec(	ext{cosec}^{-1}x) = 	ext{cosec}(\sec^{-1}x)$ है।

$\sec(\text{cosec}^{-1}x)$ किसके बराबर है?

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यदि $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y+\tan ^{-1} z=\frac{\pi}{2}$ है, तो $1-x y-y z-z x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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