वृत्त x^2+y^2=9 और परवलय y^2=8x की एक उभयनिष् | vedclass

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Question

(B) माना $y=mx+c$ परवलय $y^2=8x$ और वृत्त $x^2+y^2=9$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है। परवलय $y^2=4ax$ के लिए स्पर्श रेखा की शर्त $c=\frac{a}{m}$ है। यह

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$x-\sqrt{3}y+6=0$

Vedclass · Answer

(B) माना $y=mx+c$ परवलय $y^2=8x$ और वृत्त $x^2+y^2=9$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है। परवलय $y^2=4ax$ के लिए स्पर्श रेखा की शर्त $c=\frac{a}{m}$ है। यहाँ $4a=8$,इसलिए $a=2$ है। अतः,$c=\frac{2}{m}$ $(i)$। रेखा $y=mx+c$ वृत्त $x^2+y^2=9$ को भी स्पर्श करती है,इसलिए केंद्र $(0,0)$ से रेखा $mx-y+c=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r=3$ के बराबर होनी चाहिए। $\frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}}=3 \Rightarrow c^2=9(m^2+1)$। $c=\frac{2}{m}$ को समीकरण में रखने पर: $\frac{4}{m^2}=9(m^2+1)$ $\Rightarrow 4=9m^2(m^2+1)$ $\Rightarrow 9m^4+9m^2-4=0$। माना $m^2=t$,तब $9t^2+9t-4=0 \Rightarrow (3t-1)(3t+4)=0$। चूंकि $m^2=t > 0$,इसलिए $t=\frac{1}{3}$,जिससे $m^2=\frac{1}{3}$ और $m=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है। $m=\frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$c=\frac{2}{1/\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$। समीकरण $y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+2\sqrt{3}$ $\Rightarrow \sqrt{3}y=x+6$ $\Rightarrow x-\sqrt{3}y+6=0$ प्राप्त होता है।

वृत्त $x^2+y^2=9$ और परवलय $y^2=8x$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है

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