$P$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરનું એક ચલ બિંદુ છે,જેના નાભિઓ $F_1$ અને $F_2$ છે. જો $A$ એ ત્રિકોણ $P F_1 F_2$ નું ક્ષેત્રફળ હોય,તો $A$ ની મહત્તમ કિંમત કેટલી થાય?

ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \frac{1}{2}$ અને નાભિઓ $(\pm 1, 0)$ હોય તેવા ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો.

જો ઉપવલયની નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર તેની નાભિઓ વચ્ચેના અંતર કરતા ત્રણ ગણું હોય,તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

$100$ વ્યક્તિઓના સમૂહમાં $75$ અંગ્રેજી બોલે છે અને $40$ હિન્દી બોલે છે. દરેક વ્યક્તિ બેમાંથી ઓછામાં ઓછી એક ભાષા બોલે છે. જો ફક્ત અંગ્રેજી બોલતી વ્યક્તિઓની સંખ્યા $\alpha$ હોય અને ફક્ત હિન્દી બોલતી વ્યક્તિઓની સંખ્યા $\beta$ હોય,તો ઉપવલય $25(\beta^2 x^2 + \alpha^2 y^2) = \alpha^2 \beta^2$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $.......$ છે.

ધારો કે રેખા $y=mx$ અને ઉપવલય $2x^{2}+y^{2}=1$ પ્રથમ ચરણમાં બિંદુ $P$ પર છેદે છે. જો આ ઉપવલયના બિંદુ $P$ આગળનો અભિલંબ યામ અક્ષોને $(-\frac{1}{3\sqrt{2}}, 0)$ અને $(0, \beta)$ માં મળે,તો $\beta$ ની કિંમત શોધો.

જેના નાભિઓ $(-2,0)$ અને $(8,0)$ છે અને ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{1}{\sqrt{2}}$ છે તેવા ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુના પ્રચલિત સ્વરૂપમાં યામ શું થાય?