int sqrt{x+sqrt{x^2+2}} , dx = | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int \sqrt{x+\sqrt{x^2+2}} \, dx$ है। हम जानते हैं कि $(\sqrt{x^2+2}+x)(\sqrt{x^2+2}-x) = (x^2+2) - x^2 = 2$ होता है। माना $t = x+\sqrt{

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$\frac{(x+\sqrt{x^2+2})^2-6}{3\sqrt{x+\sqrt{x^2+2}}}+C$

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(D) माना $I = \int \sqrt{x+\sqrt{x^2+2}} \, dx$ है। हम जानते हैं कि $(\sqrt{x^2+2}+x)(\sqrt{x^2+2}-x) = (x^2+2) - x^2 = 2$ होता है। माना $t = x+\sqrt{x^2+2}$ है। तब $\sqrt{x^2+2}-x = \frac{2}{t}$ होगा। इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर,हमें $2\sqrt{x^2+2} = t + \frac{2}{t}$ प्राप्त होता है,इसलिए $\sqrt{x^2+2} = \frac{t^2+2}{2t}$ है। समीकरणों को घटाने पर,हमें $2x = t - \frac{2}{t}$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = \frac{t^2-2}{2t}$ है। $x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dx = \frac{d}{dt}(\frac{t}{2} - \frac{1}{t}) \, dt = (\frac{1}{2} + \frac{1}{t^2}) \, dt = \frac{t^2+2}{2t^2} \, dt$ प्राप्त होता है। इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \sqrt{t} \cdot \frac{t^2+2}{2t^2} \, dt = \frac{1}{2} \int (t^{1/2} + 2t^{-3/2}) \, dt$। $I = \frac{1}{2} [\frac{t^{3/2}}{3/2} + 2 \cdot \frac{t^{-1/2}}{-1/2}] + C$। $I = \frac{1}{2} [\frac{2}{3}t^{3/2} - 4t^{-1/2}] + C = \frac{1}{3}t^{3/2} - 2t^{-1/2} + C$। $I = \frac{t^2-6}{3\sqrt{t}} + C$। $t = x+\sqrt{x^2+2}$ वापस रखने पर,हमें $I = \frac{(x+\sqrt{x^2+2})^2-6}{3\sqrt{x+\sqrt{x^2+2}}} + C$ प्राप्त होता है।

$\int \sqrt{x+\sqrt{x^2+2}} \, dx =$

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