int frac{x + sin x}{1 + cos x} dx = | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx$ $\Rightarrow I = \int \frac{x}{1 + \cos x} dx + \int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx$ माना $I = I_{1

Vedclass · Accepted Answer

$x 	an \frac{x}{2} + c$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx$ $\Rightarrow I = \int \frac{x}{1 + \cos x} dx + \int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx$ माना $I = I_{1} + I_{2}$ अब,$I_{1} = \int \frac{x}{1 + \cos x} dx = \int \frac{x \ dx}{2 \cos^{2} \frac{x}{2}}$ $\left\{ \because 1 + \cos 	heta = 2 \cos^{2} \frac{	heta}{2} ight\}$ $\Rightarrow I_{1} = \int \frac{x}{2} \sec^{2} \frac{x}{2} dx$ खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए: $\int u v \ dx = u \int v \ dx - \int \left( \frac{du}{dx} \int v \ dx ight) dx$ माना $u = x$ और $v = \frac{1}{2} \sec^{2} \frac{x}{2}$ $\Rightarrow I_{1} = x 	an \frac{x}{2} - \int 1 \cdot 	an \frac{x}{2} dx$ $\Rightarrow I_{1} = x 	an \frac{x}{2} - 2 \log_{e} \left| \sec \frac{x}{2} ight| + c_{1}$ $\Rightarrow I_{1} = x 	an \frac{x}{2} - \log_{e} \left| \sec^{2} \frac{x}{2} ight| + c_{1}$ अब,$I_{2} = \int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx$ माना $1 + \cos x = t \Rightarrow - \sin x \ dx = dt$ $\Rightarrow I_{2} = - \int \frac{1}{t} dt = - \log_{e} |t| + c_{2} = - \log_{e} |1 + \cos x| + c_{2}$ $\Rightarrow I_{2} = - \log_{e} \left| 2 \cos^{2} \frac{x}{2} ight| + c_{2} = - \log_{e} 2 - \log_{e} \left| \cos^{2} \frac{x}{2} ight| + c_{2} = \log_{e} \left| \sec^{2} \frac{x}{2} ight| + c_{3}$ $I_{1}$ और $I_{2}$ को जोड़ने पर: $I = x 	an \frac{x}{2} - \log_{e} \left| \sec^{2} \frac{x}{2} ight| + c_{1} + \log_{e} \left| \sec^{2} \frac{x}{2} ight| + c_{3}$ $\Rightarrow I = x 	an \frac{x}{2} + c$

$\int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx =$

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समाकलन ज्ञात कीजिए: $\int \sec^5 x \, dx$

$\text{यदि } \int \frac{1}{\operatorname{cosec} x+\cos x} d x = \frac{1}{2 \sqrt{3}} \log |f(x)| - \int \frac{\cos x-\sin x}{2+\sin 2 x} d x + c, \text{ तो } x = \frac{\pi}{3} \text{ पर } |f(x)| = $

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