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Question

(D) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{dx}{(2 \sin x + \sec x)^4}$ है।अंश और हर को $\sec^4 x$ से गुणा करने पर:$I = \int \frac{\sec^4 x}{(2 \sin x \cos x

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{-16}{105}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{dx}{(2 \sin x + \sec x)^4}$ है।अंश और हर को $\sec^4 x$ से गुणा करने पर:$I = \int \frac{\sec^4 x}{(2 \sin x \cos x + 1)^4} dx = \int \frac{\sec^4 x}{(\sin 2x + 1)^4} dx$.हर को पुन: लिखने पर: $2 \sin x + \sec x = \frac{2 \sin x \cos x + 1}{\cos x} = \frac{\sin 2x + 1}{\cos x}$.अतः,$I = \int \frac{\cos^4 x}{(\sin 2x + 1)^4} dx = \int \frac{\cos^4 x}{((\sin x + \cos x)^2)^4} dx = \int \frac{\cos^4 x}{(\sin x + \cos x)^8} dx$.अंश और हर को $\cos^8 x$ से भाग देने पर:$I = \int \frac{\sec^4 x}{(1 + 	an x)^8} dx$.माना $	an x = t$,तब $\sec^2 x dx = dt$. चूँकि $\sec^2 x = 1 + t^2$,हमें प्राप्त होता है:$I = \int \frac{1 + t^2}{(1 + t)^8} dt = \int \frac{(1 + t)^2 - 2t}{(1 + t)^8} dt = \int \frac{(1 + t)^2 - 2(1 + t - 1)}{(1 + t)^8} dt$$I = \int \frac{dt}{(1 + t)^6} - 2 \int \frac{dt}{(1 + t)^7} + 2 \int \frac{dt}{(1 + t)^8}$$I = -\frac{1}{5}(1 + t)^{-5} + \frac{2}{6}(1 + t)^{-6} - \frac{2}{7}(1 + t)^{-7} + k$$I = -\frac{1}{5}(1 + 	an x)^{-5} + \frac{1}{3}(1 + 	an x)^{-6} - \frac{2}{7}(1 + 	an x)^{-7} + k$.दिए गए रूप से तुलना करने पर,$A = -\frac{1}{5}$,$B = \frac{1}{3}$,$C = -\frac{2}{7}$.$A + B + C = -\frac{1}{5} + \frac{1}{3} - \frac{2}{7} = \frac{-21 + 35 - 30}{105} = -\frac{16}{105}$.

$\begin{aligned} & \int \frac{dx}{(2 \sin x+\sec x)^4}=A(1+\tan x)^{-5} \\ & +B(1+\tan x)^{-6}+C(1+\tan x)^{-7}+k, \text{ तो } \\ & A+B+C= \end{aligned}$

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