int_0^{frac{pi}{2}} frac{sin^2 x}{sin x + cos | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{\sin x + \cos x} dx$ ...$(i)$ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$I

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{\sqrt{2}} \log (\sqrt{2}+1)$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{\sin x + \cos x} dx$ ...$(i)$ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^2 x}{\cos x + \sin x} dx$ ...(ii)$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x + \cos x} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x + \cos x} dx$$2I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{cosec}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) dx$$2I = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \log \left| \operatorname{cosec} \left( x + \frac{\pi}{4} \right) - \cot \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \right| \right]_0^{\frac{\pi}{2}}$$2I = \frac{1}{\sqrt{2}} [ \log |\operatorname{cosec} \frac{3\pi}{4} - \cot \frac{3\pi}{4}| - \log |\operatorname{cosec} \frac{\pi}{4} - \cot \frac{\pi}{4}| ]$$2I = \frac{1}{\sqrt{2}} [ \log (\sqrt{2}+1) - \log (\sqrt{2}-1) ] = \frac{1}{\sqrt{2}} [ 2 \log (\sqrt{2}+1) ]$તેથી,$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \log (\sqrt{2}+1)$.

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{\sin x + \cos x} dx =$

Similar Questions

ધારો કે $f$ એ $[0,1]$ પર વ્યાખ્યાયિત એક સતત વિધેય છે જેથી $\int_0^1 f^2(x) dx = (\int_0^1 f(x) dx)^2$ થાય. તો,$f$ નો વિસ્તાર

$\int_{-8}^{8} \frac{x^{5}+x^{3}}{4-x^{2}} \, dx = $

નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,$\int_{0}^{\pi} \log (1+\cos x) d x$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (3\sin x + \sin^3 x) \, dx$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $M = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{x+2} dx$ અને $N = \int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin x \cos x}{(x+1)^{2}} dx$ છે. તો, $(M - N)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module