3. int_0^{frac{1}{2}} frac{x sin^{-1} x}{sqrt | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_0^{1/2} \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} dx$. $\sin^{-1} x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = \sin t$ और $dx = \cos t dt$ प्राप्त होत

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$\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{12} \pi\right)$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int_0^{1/2} \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} dx$. $\sin^{-1} x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = \sin t$ और $dx = \cos t dt$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$,तब $t = 0$ और जब $x = 1/2$,तब $t = \pi/6$। इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int_0^{\pi/6} \frac{\sin t \cdot t}{\sqrt{1-\sin^2 t}} \cdot \cos t dt = \int_0^{\pi/6} t \sin t dt$। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर: $\int u dv = uv - \int v du$। $u = t$ और $dv = \sin t dt$ लेने पर,$du = dt$ और $v = -\cos t$ प्राप्त होता है। $I = [t(-\cos t)]_0^{\pi/6} - \int_0^{\pi/6} (-\cos t) dt$ $I = [-t \cos t + \sin t]_0^{\pi/6}$ $I = [-\frac{\pi}{6} \cos(\frac{\pi}{6}) + \sin(\frac{\pi}{6})] - [0 + \sin(0)]$ $I = [-\frac{\pi}{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}] = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{12} \pi$।

$3. \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} dx =$

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$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin (x-[x]) \, dx=$

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