int_0^1 sin ^{-1}left(frac{2 x}{1+x^2}right) | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_0^1 \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}ight) d x$. $x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \sec^2 	heta d	heta$ प्राप्त होता

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$\frac{\pi}{2}-\log 2$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int_0^1 \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}ight) d x$. $x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \sec^2 	heta d	heta$ प्राप्त होता है। जब $x = 0, 	heta = 0$ और जब $x = 1, 	heta = \frac{\pi}{4}$। $0 \le 	heta \le \frac{\pi}{4}$ के लिए $\sin^{-1}(\sin 2	heta) = 2	heta$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर: $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 2	heta \sec^2 	heta d	heta = 2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} 	heta \sec^2 	heta d	heta$. खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर: $\int u dv = uv - \int v du$,जहाँ $u = 	heta$ और $dv = \sec^2 	heta d	heta$ है। $I = 2 [	heta 	an 	heta - \int 	an 	heta d	heta]_0^{\frac{\pi}{4}} = 2 [	heta 	an 	heta - \log |\sec 	heta|]_0^{\frac{\pi}{4}}$. $I = 2 [(\frac{\pi}{4} 	an \frac{\pi}{4} - \log \sec \frac{\pi}{4}) - (0 - \log \sec 0)]$. $I = 2 [\frac{\pi}{4}(1) - \log \sqrt{2} - 0] = 2 [\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log 2] = \frac{\pi}{2} - \log 2$.

$\int_0^1 \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right) d x=$

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$\int_{e^{-1}}^{e^2} \left| \frac{\log x}{x} \right| dx =$

निश्चित समाकलन $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} x \,d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकल की परिभाषा द्वारा,$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^4}{1^5+n^5}+\frac{2^4}{2^5+n^5}+\frac{3^4}{3^5+n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5+n^5}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $[x]$ उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है जो $x$ से कम या उसके बराबर है,तो समाकल $\int_0^2 {{x^2}[x]\,dx} $ का मान क्या होगा ($/3$ में)?

निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

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