int_0^pi frac{1}{1+sin x} , dx का मान ज्ञात क | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_0^\pi \frac{1}{1+\sin x} \, dx$. सर्वसमिका $\sin x = \frac{2 	an(x/2)}{1+	an^2(x/2)}$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^\pi \frac{1}{

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$2$

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(B) माना $I = \int_0^\pi \frac{1}{1+\sin x} \, dx$. सर्वसमिका $\sin x = \frac{2 	an(x/2)}{1+	an^2(x/2)}$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^\pi \frac{1}{1 + \frac{2 	an(x/2)}{1+	an^2(x/2)}} \, dx = \int_0^\pi \frac{1+	an^2(x/2)}{(1+	an(x/2))^2} \, dx$. चूंकि $1+	an^2(x/2) = \sec^2(x/2)$,इसलिए: $I = \int_0^\pi \frac{\sec^2(x/2)}{(1+	an(x/2))^2} \, dx$. माना $t = 	an(x/2)$,तब $dt = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) \, dx$,जिसका अर्थ है $\sec^2(x/2) \, dx = 2 \, dt$. जब $x 	o 0$,तब $t 	o 0$. जब $x 	o \pi$,तब $t 	o \infty$. अतः,$I = \int_0^\infty \frac{2 \, dt}{(1+t)^2} = 2 \left[ -\frac{1}{1+t} ight]_0^\infty$. $I = 2 [0 - (-1)] = 2 	imes 1 = 2$.

$\int_0^\pi \frac{1}{1+\sin x} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $f(x)=(\cos x)(\cos 2 x) \ldots(\cos n x)$ है,तो $f^{\prime}(x)+\sum_{r=1}^n(r \tan r x) f(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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