int_0^pi (sin^5 x cos^3 x + sin^4 x cos^4 x + | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_0^\pi (\sin^5 x \cos^3 x + \sin^4 x \cos^4 x + \sin^3 x \cos^4 x) dx$ है। हम गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपय

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{3\pi}{128} + \frac{4}{35}$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int_0^\pi (\sin^5 x \cos^3 x + \sin^4 x \cos^4 x + \sin^3 x \cos^4 x) dx$ है। हम गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करते हैं। $f_1(x) = \sin^5 x \cos^3 x$ के लिए,$f_1(\pi-x) = \sin^5 x (-\cos x)^3 = -\sin^5 x \cos^3 x$ है। अतः,$\int_0^\pi \sin^5 x \cos^3 x dx = 0$ है। $f_3(x) = \sin^3 x \cos^4 x$ के लिए,$f_3(\pi-x) = \sin^3 x (-\cos x)^4 = \sin^3 x \cos^4 x$ है। $\int_0^\pi f(x) dx = 2 \int_0^{\pi/2} f(x) dx$ का उपयोग करने पर,$\int_0^\pi \sin^3 x \cos^4 x dx = 2 \int_0^{\pi/2} \sin^3 x \cos^4 x dx = 2 \cdot \frac{\Gamma(2) \Gamma(5/2)}{2 \Gamma(9/2)} = \frac{4}{35}$ है। $f_2(x) = \sin^4 x \cos^4 x = (\frac{1}{2} \sin 2x)^4 = \frac{1}{16} \sin^4 2x$ के लिए। $\int_0^\pi \frac{1}{16} \sin^4 2x dx = \frac{3\pi}{128}$ है। योग करने पर,$I = 0 + \frac{3\pi}{128} + \frac{4}{35} = \frac{3\pi}{128} + \frac{4}{35}$ प्राप्त होता है।

$\int_0^\pi (\sin^5 x \cos^3 x + \sin^4 x \cos^4 x + \sin^3 x \cos^4 x) dx =$

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यदि $\int \limits_0^\pi \frac{5^{\cos x}(1+\cos x \cos 3x+\cos^2 x+\cos^3 x \cos 3x) dx}{1+5^{\cos x}} = \frac{k \pi}{16}$ है,तो $k$ का मान $...........$ है।

$\int_{-1}^{1} \sin^{5} x \cos^{4} x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int_0^{2 \pi} (\sin x + |\sin x|) \, dx =$

$\int_0^1 \frac{8 \log (1+x)}{1+x^2} dx =$

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