int_0^{frac{pi}{2}} frac{sin left(frac{pi}{4} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \left(\frac{\pi}{4}+x\right)+\sin \left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)}{\cos x+\sin x} d x$. નિત્યસમ $\si

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{2 \sqrt{2}}$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \left(\frac{\pi}{4}+x\right)+\sin \left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)}{\cos x+\sin x} d x$. નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા: $\sin \left(\frac{\pi}{4}+x\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos x + \sin x)$. $\sin \left(\frac{3 \pi}{4}+x\right) = \sin \left(\pi - (\frac{\pi}{4} - x)\right) = \sin (\frac{\pi}{4} - x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos x - \sin x)$. આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા: $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} (\cos x + \sin x) + \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos x - \sin x)}{\cos x + \sin x} d x$. $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cos x}{\cos x + \sin x} d x = \sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} d x$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = \sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(\frac{\pi}{2}-x)}{\cos(\frac{\pi}{2}-x) + \sin(\frac{\pi}{2}-x)} d x = \sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} d x$. $I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા: $2I = \sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x + \sin x}{\cos x + \sin x} d x = \sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 d x = \sqrt{2} [x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$. તેથી,$I = \frac{\pi}{2 \sqrt{2}}$.

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \left(\frac{\pi}{4}+x\right)+\sin \left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)}{\cos x+\sin x} d x=$

Similar Questions

$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos ^{2} x}{1+3^{x}} d x$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ અને $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ સતત વિધેયો છે. તો સંકલન $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} [f(x)+f(-x)][g(x)-g(-x)] \, dx$ ની કિંમત શોધો.

નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: $\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{x^2 \ln x}{(1+x^2)^3} dx$

$I=\int_{\sqrt{\log _e 2}}^{\sqrt{\log _e 3}} \frac{x \sin x^2}{\sin x^2+\sin \left(\log _e 6-x^2\right)} d x$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}} \frac{d x}{1+\cos x}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module