int_0^{pi / 2} log _e(sin 2 x) d x | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \log _e(\sin 2 x) d x$. $2x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \frac{1}{2} dt$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$,तब $t = 0$ और ज

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$-\frac{\pi}{2} \log 2$

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(D) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \log _e(\sin 2 x) d x$. $2x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \frac{1}{2} dt$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$,तब $t = 0$ और जब $x = \frac{\pi}{2}$,तब $t = \pi$. अतः,$I = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \log _e(\sin t) dt$. गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(2a-x) = f(x)$,हमें प्राप्त होता है कि $\int_0^{\pi} \log _e(\sin t) dt = 2 \int_0^{\pi/2} \log _e(\sin t) dt$. इस प्रकार,$I = \frac{1}{2} 	imes 2 \int_0^{\pi/2} \log _e(\sin t) dt = \int_0^{\pi/2} \log _e(\sin t) dt$. यह एक मानक परिणाम है कि $\int_0^{\pi/2} \log _e(\sin t) dt = -\frac{\pi}{2} \log _e 2$. अतः,$I = -\frac{\pi}{2} \log _e 2$.

$\int_0^{\pi / 2} \log _e(\sin 2 x) d x$

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यदि $I_n = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin(nx)}{(1+\pi^x) \sin x} dx$,$n=0, 1, 2, \ldots$,तो
$(A)$ $I_n = I_{n+2}$
$(B)$ $\sum_{m=1}^{10} I_{2m+1} = 10\pi$
$(C)$ $\sum_{m=1}^{10} I_{2m} = 0$
$(D)$ $I_n = I_{n+1}$

मान लीजिए $f(x) = \frac{x}{(1+x^n)^{1/n}}$,$x \in R - \{-1\}$,$n \in N$,$n > 2$. यदि $f^n(x) = (f \circ f \circ f \dots n \text{ बार})(x)$ है,तो $\lim_{n \to \infty} \int_0^1 x^{n-2} (f^n(x)) dx$ का मान $...............$ है।

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