यदि I_n = int_{-pi}^{pi} frac{sin(nx)}{(1+pi^ | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $I_n = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin(nx)}{(1+\pi^x) \sin x} dx \quad \ldots (i)$गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उप

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$(A, B, C)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $I_n = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin(nx)}{(1+\pi^x) \sin x} dx \quad \ldots (i)$गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर,$I_n = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\pi^x \sin(nx)}{(1+\pi^x) \sin x} dx \quad \ldots (ii)$$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:$2I_n = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin(nx)}{\sin x} dx = 2 \int_0^{\pi} \frac{\sin(nx)}{\sin x} dx$ (चूंकि फलन सम है)।अतः,$I_n = \int_0^{\pi} \frac{\sin(nx)}{\sin x} dx$.अब,$I_{n+2} - I_n = \int_0^{\pi} \frac{\sin((n+2)x) - \sin(nx)}{\sin x} dx = \int_0^{\pi} \frac{2 \cos((n+1)x) \sin x}{\sin x} dx = 2 \int_0^{\pi} \cos((n+1)x) dx = 0$.इसलिए,$I_{n+2} = I_n$.$n=1$ के लिए,$I_1 = \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{\sin x} dx = \pi$.$n=2$ के लिए,$I_2 = \int_0^{\pi} \frac{\sin(2x)}{\sin x} dx = \int_0^{\pi} 2 \cos x dx = 0$.चूंकि $I_{n+2} = I_n$,सभी विषम पद $I_{2m+1} = \pi$ और सभी सम पद $I_{2m} = 0$ हैं।अतः,$\sum_{m=1}^{10} I_{2m+1} = 10\pi$ और $\sum_{m=1}^{10} I_{2m} = 0$.इस प्रकार,विकल्प $(A)$,$(B)$,और $(C)$ सही हैं।

यदि $I_n = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin(nx)}{(1+\pi^x) \sin x} dx$,$n=0, 1, 2, \ldots$,तो
$(A)$ $I_n = I_{n+2}$
$(B)$ $\sum_{m=1}^{10} I_{2m+1} = 10\pi$
$(C)$ $\sum_{m=1}^{10} I_{2m} = 0$
$(D)$ $I_n = I_{n+1}$

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यदि $I_n = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin(nx)}{(1+\pi^x) \sin x} dx$,$n=0, 1, 2, \ldots$,तो$(A)$ $I_n = I_{n+2}$$(B)$ $\sum_{m=1}^{10} I_{2m+1} = 10\pi$$(C)$ $\sum_{m=1}^{10} I_{2m} = 0$$(D)$ $I_n = I_{n+1}$