int_{-1}^1 frac{sqrt{1+x+x^2}-sqrt{1-x+x^2}}{ | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{-1}^1 f(x) dx$,जहाँ $f(x) = \frac{\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}}{\sqrt{1+x+x^2}+\sqrt{1-x+x^2}}$ है।हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करके ज

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(C) माना $I = \int_{-1}^1 f(x) dx$,जहाँ $f(x) = \frac{\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}}{\sqrt{1+x+x^2}+\sqrt{1-x+x^2}}$ है।हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचते हैं कि फलन सम है या विषम:$f(-x) = \frac{\sqrt{1+(-x)+(-x)^2}-\sqrt{1-(-x)+(-x)^2}}{\sqrt{1+(-x)+(-x)^2}+\sqrt{1-(-x)+(-x)^2}}$$f(-x) = \frac{\sqrt{1-x+x^2}-\sqrt{1+x+x^2}}{\sqrt{1-x+x^2}+\sqrt{1+x+x^2}}$$f(-x) = -\left( \frac{\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}}{\sqrt{1+x+x^2}+\sqrt{1-x+x^2}} \right) = -f(x)$.चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^a f(x) dx = 0$ होता है।अतः,$\int_{-1}^1 f(x) dx = 0$।

$\int_{-1}^1 \frac{\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}}{\sqrt{1+x+x^2}+\sqrt{1-x+x^2}} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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