int_{0}^{1} tan ^{-1}left(frac{2x-1}{1+x-x^{2 | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{0}^{1} 	an ^{-1}\left(\frac{2x-1}{1+x-x^{2}}ight) dx$ है। हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\fra

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(A) माना $I = \int_{0}^{1} 	an ^{-1}\left(\frac{2x-1}{1+x-x^{2}}ight) dx$ है। हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{2x-1}{1+x-x^{2}} = \frac{x - (1-x)}{1 + x(1-x)}$। सर्वसमिका $	an^{-1}(a) - 	an^{-1}(b) = 	an^{-1}\left(\frac{a-b}{1+ab}ight)$ का उपयोग करने पर: $I = \int_{0}^{1} (	an^{-1} x - 	an^{-1}(1-x)) dx$ ... $(1)$। गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_{0}^{1} (	an^{-1}(1-x) - 	an^{-1}(1-(1-x))) dx = \int_{0}^{1} (	an^{-1}(1-x) - 	an^{-1} x) dx$ ... $(2)$। समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर: $2I = \int_{0}^{1} (	an^{-1} x - 	an^{-1}(1-x) + 	an^{-1}(1-x) - 	an^{-1} x) dx = \int_{0}^{1} 0 dx = 0$। अतः,$I = 0$।

$\int_{0}^{1} \tan ^{-1}\left(\frac{2x-1}{1+x-x^{2}}\right) dx =$

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मान लीजिए $\int_{-2}^{2} (|\sin x| + [x \sin x]) dx = 2(3 - \cos 2) + \beta$, जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है। तो $\beta \sin(\frac{\beta}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए:

समाकलन $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x \, dx}{\sin^4(2x) + \cos^4(2x)}$ का मान क्या है?

$\frac{3}{25} \int_0^{25 \pi} \sqrt{|\cos x - \cos^3 x|} \, dx =$

$\int_{0}^{1} \sin \left( 2 \tan^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \right) \, dx = $

निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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