समाकलन int_0^{frac{pi}{4}} frac{x , dx}{sin^4 | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x \, dx}{\sin^4(2x) + \cos^4(2x)}$.$2x = t$ रखने पर,$dx = \frac{1}{2} dt$. जब $x=0, t=0$ और जब $x=\frac{\pi

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$\frac{\sqrt{2} \pi^2}{32}$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x \, dx}{\sin^4(2x) + \cos^4(2x)}$.$2x = t$ रखने पर,$dx = \frac{1}{2} dt$. जब $x=0, t=0$ और जब $x=\frac{\pi}{4}, t=\frac{\pi}{2}$.$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(t/2) \cdot (1/2) dt}{\sin^4 t + \cos^4 t} = \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{t \, dt}{\sin^4 t + \cos^4 t}$.गुणधर्म $\int_0^a f(t) dt = \int_0^a f(a-t) dt$ का उपयोग करने पर:$I = \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\frac{\pi}{2} - t) dt}{\cos^4 t + \sin^4 t} = \frac{\pi}{8} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dt}{\sin^4 t + \cos^4 t} - I$.अतः,$2I = \frac{\pi}{8} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dt}{\sin^4 t + \cos^4 t}$.अंश और हर को $\cos^4 t$ से विभाजित करने पर:$2I = \frac{\pi}{8} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec^4 t \, dt}{	an^4 t + 1} = \frac{\pi}{8} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1 + 	an^2 t) \sec^2 t \, dt}{	an^4 t + 1}$.$	an t = y$ रखने पर,$\sec^2 t \, dt = dy$:$2I = \frac{\pi}{8} \int_0^{\infty} \frac{1 + y^2}{y^4 + 1} dy = \frac{\pi}{8} \int_0^{\infty} \frac{1 + 1/y^2}{y^2 + 1/y^2} dy$.$y - 1/y = p$ रखने पर,$(1 + 1/y^2) dy = dp$. सीमाएँ $-\infty$ से $\infty$ तक बदलती हैं:$2I = \frac{\pi}{8} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dp}{p^2 + 2} = \frac{\pi}{8} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} 	an^{-1} \left( \frac{p}{\sqrt{2}} ight) ight]_{-\infty}^{\infty} = \frac{\pi}{8\sqrt{2}} (\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2})) = \frac{\pi^2}{8\sqrt{2}}$.अतः,$I = \frac{\pi^2}{16\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}\pi^2}{32}$.

समाकलन $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x \, dx}{\sin^4(2x) + \cos^4(2x)}$ का मान क्या है?

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निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{\pi /2} \frac{dx}{1 + \tan^3 x}$ का मान है

$\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+e^x} d x=$

यदि $g(x)$,$f(x)$ का प्रतिलोम (inverse) है और $f(x)$ का प्रांत (domain) $x \in [1, 5]$ है,जहाँ $f(1) = 2$ और $f(5) = 10$,तो $\int_{1}^{5} f(x) dx + \int_{2}^{10} g(y) dy$ का मान ज्ञात कीजिए।

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