OABC एक इकाई वर्ग है जहाँ O मूलबिंदु है और B= | vedclass

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Question

(B) इकाई वर्ग $OABC$ का क्षेत्रफल $1 	ext{ वर्ग इकाई}$ है। वक्र $y^2=x$ और $x^2=y$ बिंदु $(0,0)$ और $(1,1)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।माना $a_1, a_2, a_

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$2$

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(B) इकाई वर्ग $OABC$ का क्षेत्रफल $1 	ext{ वर्ग इकाई}$ है। वक्र $y^2=x$ और $x^2=y$ बिंदु $(0,0)$ और $(1,1)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।माना $a_1, a_2, a_3$ तीन भागों के क्षेत्रफल हैं। समरूपता के कारण,$a_1 = a_3$ है।कुल क्षेत्रफल $a_1 + a_2 + a_3 = 1 \quad \dots(i)$ है।समरूपता के कारण,$a_1 = a_3 \quad \dots(ii)$ है।क्षेत्रफल $a_2$,$x=0$ से $x=1$ तक वक्रों $y = \sqrt{x}$ और $y = x^2$ के बीच का क्षेत्रफल है:$a_2 = \int_0^1 (\sqrt{x} - x^2) dx = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{3} ight]_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$.समीकरण $(i)$ में $a_2 = \frac{1}{3}$ रखने पर:$a_1 + \frac{1}{3} + a_3 = 1 \implies a_1 + a_3 = \frac{2}{3}$.चूंकि $a_1 = a_3$,इसलिए $2a_1 = \frac{2}{3} \implies a_1 = \frac{1}{3}$ और $a_3 = \frac{1}{3}$ है।अतः,$a_1 = a_2 = a_3 = \frac{1}{3}$ है।हमें $a_1 + 2a_2 + 3a_3$ का मान ज्ञात करना है:$a_1 + 2a_2 + 3a_3 = \frac{1}{3} + 2\left(\frac{1}{3}ight) + 3\left(\frac{1}{3}ight) = \frac{1+2+3}{3} = \frac{6}{3} = 2$.

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