वक्रों के एक परिवार का अवकल समीकरण x y frac{d | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x y \frac{d y}{d x}=2 y^2-x^2$ है। $x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{d y}{d x}=\frac{2 y}{x}-\frac{x}{y}$ प्राप्त होता है। पदों

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$y^2=x^2+c x^4$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x y \frac{d y}{d x}=2 y^2-x^2$ है। $x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{d y}{d x}=\frac{2 y}{x}-\frac{x}{y}$ प्राप्त होता है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y \frac{d y}{d x}-\frac{2 y^2}{x}=-x$ $\ldots$ $(i)$. माना $v=y^2$,तब $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{d v}{d x}=2 y \frac{d y}{d x}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y \frac{d y}{d x}=\frac{1}{2} \frac{d v}{d x}$. इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} \frac{d v}{d x}-\frac{2 v}{x}=-x$. $2$ से गुणा करने पर: $\frac{d v}{d x}-\frac{4 v}{x}=-2 x$. यह $\frac{d v}{d x}+P v=Q$ रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=-\frac{4}{x}$ और $Q=-2 x$ है। समाकलन गुणक $IF=e^{\int P d x}=e^{\int-\frac{4}{x} d x}=e^{-4 \log x}=x^{-4}$. हल $v \cdot IF = \int Q \cdot IF d x + c$ है। $v \cdot x^{-4} = \int (-2 x) \cdot x^{-4} d x + c = -2 \int x^{-3} d x + c$. $v x^{-4} = -2 \left( \frac{x^{-2}}{-2} \right) + c = x^{-2} + c$. $v = x^2 + c x^4$. चूंकि $v=y^2$,वक्रों का परिवार $y^2 = x^2 + c x^4$ है।

वक्रों के एक परिवार का अवकल समीकरण $x y \frac{d y}{d x}=2 y^2-x^2$ है। तो,वक्रों का परिवार है

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