3 hat{i}-2 hat{j}-hat{k}, -2 hat{i}-hat{j}+3 | vedclass

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Question

(B) माना शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = 3\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b} = -2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}$,और $\vec{c} = -\hat{i}+3\hat{j}

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$\overrightarrow{0}$

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(B) माना शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = 3\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b} = -2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}$,और $\vec{c} = -\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}$ हैं।सबसे पहले,भुजाओं की लंबाई के वर्ग की गणना करें:$AB^2 = |\vec{b}-\vec{a}|^2 = |(-5)\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}|^2 = 25+1+16 = 42$$BC^2 = |\vec{c}-\vec{b}|^2 = |\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}|^2 = 1+16+25 = 42$$AC^2 = |\vec{c}-\vec{a}|^2 = |(-4)\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}|^2 = 16+25+1 = 42$चूंकि $AB^2 = BC^2 = AC^2 = 42$,त्रिभुज समबाहु है।एक समबाहु त्रिभुज के लिए,लंबकेंद्र $H$ केंद्रक $G$ के साथ संपाती होता है।केंद्रक $G = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} = \frac{(3-2-1)\hat{i} + (-2-1+3)\hat{j} + (-1+3-2)\hat{k}}{3} = \vec{0}$.अतः,$H = (0,0,0)$.अब,$\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = (\vec{a}-\vec{h}) + (\vec{b}-\vec{h}) + (\vec{c}-\vec{h}) = \vec{a}+\vec{b}+\vec{c} - 3\vec{h}$.चूंकि $\vec{h} = \vec{0}$ और $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = \vec{0}$,इसलिए $\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = \vec{0}$ प्राप्त होता है।

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