एक समतल pi जो ax + by + 11z + d = 0 द्वारा दि | vedclass

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Question

(D) समतल $\pi: ax + by + 11z + d = 0$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + 11\hat{k}$ है।चूंकि $\pi$ समतलों $2x - 3y + z = 4$ और $3x + y -

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$-3ab$

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(D) समतल $\pi: ax + by + 11z + d = 0$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + 11\hat{k}$ है।चूंकि $\pi$ समतलों $2x - 3y + z = 4$ और $3x + y - z = 5$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{n}$ सदिशों $\vec{n}_1 = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n}_2 = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ के लंबवत है।अतः,$\vec{n} = \vec{n}_1 	imes \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2 & -3 & 1 \ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 2\hat{i} + 5\hat{j} + 11\hat{k}$ है।इसे $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + 11\hat{k}$ से तुलना करने पर,$a = 2$ और $b = 5$ प्राप्त होता है।समतल का समीकरण $2x + 5y + 11z + d = 0$ है।मूल बिंदु $(0,0,0)$ से समतल की लंबवत दूरी $\frac{|d|}{\sqrt{2^2 + 5^2 + 11^2}} = \frac{|d|}{\sqrt{150}} = \frac{|d|}{5\sqrt{6}}$ है।यह दूरी $\sqrt{6}$ दी गई है,अतः $\frac{|d|}{5\sqrt{6}} = \sqrt{6} \implies |d| = 30$ है।अंतःखंड धनात्मक होने के लिए,$d = -30$ होना चाहिए।यहाँ $ab = 10$ है,इसलिए $d = -3ab$ है।

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