एक थैली $P$ में $4$ लाल और $5$ काली गेंदें हैं,दूसरी थैली $Q$ में $3$ लाल और $6$ काली गेंदें हैं। यदि थैली $P$ से एक गेंद और थैली $Q$ से दो गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं,तो निकाली गई तीन गेंदों में से दो काली और एक लाल होने की प्रायिकता क्या है?

मान लीजिए कि एक पक्षपाती सिक्के पर चित (head) आने की प्रायिकता $\frac{1}{4}$ है। इसे बार-बार तब तक उछाला जाता है जब तक कि चित न आ जाए। मान लीजिए $N$ आवश्यक उछालों की संख्या है। यदि समीकरण $64x^2 + 5Nx + 1 = 0$ का कोई वास्तविक मूल न होने की प्रायिकता $\frac{p}{q}$ है,जहाँ $p$ और $q$ सह-अभाज्य हैं,तो $q - p$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $A$ और $B$ दो स्वतंत्र घटनाएँ इस प्रकार हैं कि $P(A) > 0.5$,$P(B) > 0.5$,$P(A \cap \bar{B}) = \frac{3}{25}$,और $P(\bar{A} \cap B) = \frac{8}{25}$,तो $P(A \cap B)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$A, B, C$ एक साथ लेकिन स्वतंत्र रूप से एक लक्ष्य को भेदने का प्रयास करते हैं। लक्ष्य को भेदने की उनकी संबंधित प्रायिकताएं $\frac{3}{4}, \frac{1}{2}, \frac{5}{8}$ हैं। लक्ष्य के $A$ या $B$ द्वारा भेदे जाने लेकिन $C$ द्वारा न भेदे जाने की प्रायिकता क्या है?

तीन छात्रों $S_1, S_2$ और $S_3$ को हल करने के लिए एक समस्या दी गई है। निम्नलिखित घटनाओं पर विचार करें:
$U:$ $S_1, S_2$ और $S_3$ में से कम से कम एक छात्र समस्या को हल कर सकता है,
$V: S_1$ समस्या को हल कर सकता है,यह देखते हुए कि न तो $S_2$ और न ही $S_3$ समस्या को हल कर सकते हैं,
$W: S_2$ समस्या को हल कर सकता है और $S_3$ समस्या को हल नहीं कर सकता है,
$T: S_3$ समस्या को हल कर सकता है।
किसी भी घटना $E$ के लिए,$P(E)$ को $E$ की प्रायिकता के रूप में दर्शाएं।
यदि $P(U)=\frac{1}{2}, P(V)=\frac{1}{10}$ और $P(W)=\frac{1}{12}$ है,तो $P(T)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $A$ और $B$ एक यादृच्छिक प्रयोग की स्वतंत्र घटनाएँ हैं, जैसे कि $P(A \cap B)=\frac{1}{6}$ और $P(\bar{A} \cap \bar{B})=\frac{1}{3}$, तो $P(A)$ का मान ज्ञात कीजिए। (यहाँ, $\bar{E}$ घटना $E$ की पूरक घटना है)