n एक धनात्मक पूर्णांक है और 3 का गुणज नहीं है | vedclass

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Question

(A) यदि $n$,$3$ का गुणज नहीं है,तो $n = 3k + 1$ या $n = 3k + 2$ होगा,जहाँ $k \in \mathbb{Z}$ है।स्थिति $(I)$: जब $n = 3k + 1$.$\omega^n + \omega^{2n}

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-$1$

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(A) यदि $n$,$3$ का गुणज नहीं है,तो $n = 3k + 1$ या $n = 3k + 2$ होगा,जहाँ $k \in \mathbb{Z}$ है।स्थिति $(I)$: जब $n = 3k + 1$.$\omega^n + \omega^{2n} = \omega^{3k+1} + \omega^{6k+2} = (\omega^3)^k \cdot \omega + (\omega^3)^{2k} \cdot \omega^2 = 1^k \cdot \omega + 1^{2k} \cdot \omega^2 = \omega + \omega^2$.चूँकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega + \omega^2 = -1$.स्थिति $(II)$: जब $n = 3k + 2$.$\omega^n + \omega^{2n} = \omega^{3k+2} + \omega^{6k+4} = (\omega^3)^k \cdot \omega^2 + (\omega^3)^{2k} \cdot \omega^4 = 1^k \cdot \omega^2 + 1^{2k} \cdot \omega = \omega^2 + \omega = -1$.दोनों स्थितियों में,उन सभी $n$ के लिए जो $3$ के गुणज नहीं हैं,$\omega^n + \omega^{2n} = -1$ होता है।

$n$ एक धनात्मक पूर्णांक है और $3$ का गुणज नहीं है। यदि $\omega$ इकाई का एक अवास्तविक घनमूल है,तो $\omega^n + \omega^{2n}$ का मान क्या होगा?

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