एक पिंड को पृथ्वी की सतह से पलायन वेग $(V_{e})$ के $\sqrt{5}$ गुना वेग से प्रक्षेपित किया जाता है। जब पिंड पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण प्रभाव से बाहर निकल जाता है, तो उसका वेग क्या होगा?

$2 \times 10^4 \, kg$ द्रव्यमान का एक अंतरिक्ष यान पृथ्वी की सतह के निकट एक वृत्ताकार कक्षा में प्रक्षेपित किया जाता है। गुरुत्वाकर्षण खिंचाव को दूर करने के लिए कक्षा में अंतरिक्ष यान को दिया जाने वाला अतिरिक्त वेग $......$ होगा (यदि $g = 10 \, m/s^2$ और पृथ्वी की त्रिज्या $= 6400 \, km$ है)।

$E_k$ गतिज ऊर्जा वाला एक उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर एक वृत्ताकार कक्षा में घूम रहा है। इसे और कितनी गतिज ऊर्जा दी जानी चाहिए ताकि यह पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण से मुक्त होकर अंतरिक्ष में पलायन कर सके?

दो गोलाकार तारे $A$ और $B$ का घनत्व क्रमशः $\rho_A$ और $\rho_B$ है। $A$ और $B$ की त्रिज्या समान है,और उनके द्रव्यमान $M_A$ और $M_B$ का संबंध $M_B = 2M_A$ है। एक अंतःक्रिया प्रक्रिया के कारण,तारा $A$ अपना कुछ द्रव्यमान खो देता है,जिससे उसकी त्रिज्या आधी हो जाती है,जबकि उसका गोलाकार आकार बना रहता है और उसका घनत्व $\rho_A$ ही रहता है। $A$ द्वारा खोया गया पूरा द्रव्यमान $B$ पर $\rho_A$ घनत्व वाले एक मोटे गोलाकार कवच के रूप में जमा हो जाता है। यदि अंतःक्रिया प्रक्रिया के बाद $A$ और $B$ से पलायन वेग $v_A$ और $v_B$ हैं,तो अनुपात $\frac{v_B}{v_A} = \sqrt{\frac{10n}{15^{1/3}}}$ है। $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $v_e$ पलायन वेग (escape velocity) है और $v_0$ पृथ्वी की सतह के निकट कक्षा में किसी उपग्रह का कक्षीय वेग (orbital velocity) है,तो इनके बीच क्या संबंध है?

नीचे दो कथन दिए गए हैं: एक को अभिकथन $A$ और दूसरे को कारण $R$ के रूप में लेबल किया गया है।
अभिकथन $A$: पृथ्वी पर वायुमंडल है जबकि चंद्रमा पर कोई वायुमंडल नहीं है।
कारण $R$: पृथ्वी की तुलना में चंद्रमा पर पलायन वेग (escape velocity) बहुत कम है।
उपरोक्त कथनों के आलोक में,नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें: