$[i, k, j] + [k, j, i] + [j, k, i]$

किन्हीं भी शून्येतर सदिशों $a, b, c$ के लिए,$a \cdot[(b+c) \times(a+b+c)] = \ldots .$

यदि $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ परस्पर लंबवत सदिश हैं जिनके परिमाण क्रमशः $1, 2, 3$ हैं,तो $[\overline{a}+\overline{b}+\overline{c} \quad \overline{b}-\overline{a} \quad \overline{c}]$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ असमतलीय सदिश हैं और $\bar{p}=\frac{\bar{b} \times \bar{c}}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}, \bar{q}=\frac{\bar{c} \times \bar{a}}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}, \bar{r}=\frac{\bar{a} \times \bar{b}}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}$ है,तो $\bar{a} \cdot \bar{p}+\bar{b} \cdot \bar{q}+\bar{c} \cdot \bar{r}=$

मान लीजिए $\overrightarrow{OP} = \frac{\alpha-1}{\alpha} \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\overrightarrow{OQ} = \hat{i} + \frac{\beta-1}{\beta} \hat{j} + \hat{k}$ और $\overrightarrow{OR} = \hat{i} + \hat{j} + \frac{1}{2} \hat{k}$ तीन सदिश हैं,जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{R} - \{0\}$ और $O$ मूल बिंदु को दर्शाता है। यदि $(\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OQ}) \cdot \overrightarrow{OR} = 0$ है और बिंदु $(\alpha, \beta, 2)$ समतल $3x + 3y - z + l = 0$ पर स्थित है,तो $l$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $a, b$ और $c$ असमतलीय (non-coplanar) हैं,तो $a \cdot \left\{ \frac{b \times c}{3 b \cdot (c \times a)} \right\} - b \cdot \left\{ \frac{c \times a}{2 c \cdot (a \times b)} \right\}$ का मान क्या है?