int frac{x^3}{sqrt{1+x^2}} dx का मान ज्ञात की | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} dx$. हम समाकलन को $I = \int x^2 \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} dx$ के रूप में लिख सकते हैं। खंडशः समाकलन (in

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$x^2\sqrt{1+x^2}-\frac{2}{3}(1+x^2)^{3/2}+C$

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(C) माना $I = \int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} dx$. हम समाकलन को $I = \int x^2 \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} dx$ के रूप में लिख सकते हैं। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए, $u = x^2$ और $dv = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} dx$ लें। तब $du = 2x dx$ और $v = \int (1+x^2)^{-1/2} x dx = \sqrt{1+x^2}$ प्राप्त होता है। सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करने पर: $I = x^2 \sqrt{1+x^2} - \int 2x \sqrt{1+x^2} dx$. शेष समाकलन के लिए, $t = 1+x^2$ लें, जिससे $dt = 2x dx$ प्राप्त होता है। $I = x^2 \sqrt{1+x^2} - \int t^{1/2} dt = x^2 \sqrt{1+x^2} - \frac{t^{3/2}}{3/2} + C$. $I = x^2 \sqrt{1+x^2} - \frac{2}{3}(1+x^2)^{3/2} + C$.

$\int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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