यदि f(x)=1+x और g(x)=log x है,तो int g(f(x)) | vedclass

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Question

(A) हमें $f(x) = 1+x$ और $g(x) = \log x$ दिया गया है। अतः,$g(f(x)) = \log(1+x)$ होगा। हमें $\int \log(1+x) \, dx$ का समाकलन करना है। खंडशः समाकलन (Int

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$(1+x) \log (1+x)-x+c$,(जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है)

Vedclass · Answer

(A) हमें $f(x) = 1+x$ और $g(x) = \log x$ दिया गया है। अतः,$g(f(x)) = \log(1+x)$ होगा। हमें $\int \log(1+x) \, dx$ का समाकलन करना है। खंडशः समाकलन (Integration by parts) के नियम से,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$। माना $u = \log(1+x)$ और $dv = dx$ है। तब $du = \frac{1}{1+x} \, dx$ और $v = x$ होगा। $\int \log(1+x) \, dx = x \log(1+x) - \int \frac{x}{1+x} \, dx + c$। हम $\frac{x}{1+x}$ को $\frac{1+x-1}{1+x} = 1 - \frac{1}{1+x}$ के रूप में लिख सकते हैं। अतः,$\int \log(1+x) \, dx = x \log(1+x) - \int (1 - \frac{1}{1+x}) \, dx + c$। $= x \log(1+x) - (x - \log(1+x)) + c$। $= x \log(1+x) - x + \log(1+x) + c$। $= (1+x) \log(1+x) - x + c$।

यदि $f(x)=1+x$ और $g(x)=\log x$ है,तो $\int g(f(x)) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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