int_0^{frac{pi}{2}} frac{d x}{cos x-sqrt{3} s | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\cos x - \sqrt{3} \sin x}$.हर को फिर से लिखने के लिए $2$ से गुणा और भाग करने पर:$I = \int_0^{\frac{\pi}

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$\frac{1}{2} \log (2 \sqrt{3}-3)$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\cos x - \sqrt{3} \sin x}$.हर को फिर से लिखने के लिए $2$ से गुणा और भाग करने पर:$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{2(\frac{1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x)} = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin(\frac{\pi}{6} - x)}$.सर्वसमिका $\sin(	heta) = \cos(\frac{\pi}{2} - 	heta)$ का उपयोग करने पर, हमें $\sin(\frac{\pi}{6} - x) = \cos(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{6} - x)) = \cos(x + \frac{\pi}{3})$ प्राप्त होता है।अतः, $I = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sec(x + \frac{\pi}{3}) dx$.$\sec(u)$ का समाकलन $\log|\sec u + 	an u|$ होता है।$I = \frac{1}{2} [\log|\sec(x + \frac{\pi}{3}) + 	an(x + \frac{\pi}{3})|]_0^{\frac{\pi}{2}}$.सीमाओं पर मान ज्ञात करने पर:$x = \frac{\pi}{2}$ के लिए, $\sec(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ और $	an(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.$x = 0$ के लिए, $\sec(\frac{\pi}{3}) = 2$ और $	an(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.$I = \frac{1}{2} [\log|-\frac{3}{\sqrt{3}}| - \log|2 + \sqrt{3}|] = \frac{1}{2} [\log(\sqrt{3}) - \log(2 + \sqrt{3})]$.इसका सरलीकरण $\frac{1}{2} \log(\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}})$ है।हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{4-3} = 2\sqrt{3} - 3$.अतः, $I = \frac{1}{2} \log(2\sqrt{3} - 3)$.

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{\cos x-\sqrt{3} \sin x}=$

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