int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}} sin^2 x cos^ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^2 x(\sin x + \cos x) dx$ ...$(i)$ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{4}{15}$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^2 x(\sin x + \cos x) dx$ ...$(i)$ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $a = -\frac{\pi}{2}$ અને $b = \frac{\pi}{2}$, તેથી $a+b = 0$.$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(-x) \cos^2(-x)(\sin(-x) + \cos(-x)) dx$$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^2 x(-\sin x + \cos x) dx$ ...(ii)$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:$2I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^2 x(\sin x + \cos x - \sin x + \cos x) dx$$2I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^2 x(2 \cos x) dx$$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^3 x dx$કારણ કે $\sin^2 x \cos^3 x$ એ યુગ્મ વિધેય છે, તેથી $I = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^3 x dx$.ધારો કે $\sin x = t$, તેથી $\cos x dx = dt$. જ્યારે $x=0, t=0$; જ્યારે $x=\frac{\pi}{2}, t=1$.$I = 2 \int_0^1 t^2 (1-t^2) dt = 2 \int_0^1 (t^2 - t^4) dt$$I = 2 \left[ \frac{t^3}{3} - \frac{t^5}{5} \right]_0^1 = 2 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) = 2 \left( \frac{2}{15} \right) = \frac{4}{15}$.

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^2 x(\sin x + \cos x) dx =$

Similar Questions

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\tan x} \, dx =$

વિધેય $F(x) = \int_0^x \log \left( \frac{1 - t}{1 + t} \right) \,dt$ એ

ધારો કે $g(t) = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos \left(\frac{\pi}{4} t + f(x)\right) \, dx$,જ્યાં $f(x) = \log_e \left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$,$x \in R$. તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

જો $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1 + \sin x + \cos x} = \ln 2$ આપેલ હોય,તો નિશ્ચિત સંકલન $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1 + \sin x + \cos x} dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^{\pi / 2} |\sin t - \cos t| \, dt =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module