int_{-1}^1 x|x| , dx = | vedclass

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Question

(C) फलन $f(x) = x|x|$ एक विषम (odd) फलन है क्योंकि $f(-x) = (-x)|-x| = -x|x| = -f(x)$ है।एक विषम फलन के लिए, सममित अंतराल $[-a, a]$ पर निश्चित समाकलन

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(C) फलन $f(x) = x|x|$ एक विषम (odd) फलन है क्योंकि $f(-x) = (-x)|-x| = -x|x| = -f(x)$ है।एक विषम फलन के लिए, सममित अंतराल $[-a, a]$ पर निश्चित समाकलन हमेशा शून्य होता है।वैकल्पिक रूप से, हम इसे इस प्रकार हल कर सकते हैं:$\int_{-1}^1 x|x| \, dx = \int_{-1}^0 x(-x) \, dx + \int_0^1 x(x) \, dx$$= -\int_{-1}^0 x^2 \, dx + \int_0^1 x^2 \, dx$$= -\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^0 + \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1$$= -\left(0 - \left(-\frac{1}{3}\right)\right) + \left(\frac{1}{3} - 0\right)$$= -\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 0$

$\int_{-1}^1 x|x| \, dx =$

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निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{2 \pi} \cos ^{5} x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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