lim _{n rightarrow infty}left[frac{n+3}{n^2+1 | vedclass

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Question

(A) दी गई अभिव्यक्ति $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{n+3r}{n^2+r^2}$ है।अंश और हर को $n^2$ से विभाजित करने पर, हमें $S = \lim _{n

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$\frac{\pi}{4}+\frac{3}{2} \ln 2$

Vedclass · Answer

(A) दी गई अभिव्यक्ति $S = \lim _{n ightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{n+3r}{n^2+r^2}$ है।अंश और हर को $n^2$ से विभाजित करने पर, हमें $S = \lim _{n ightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{\frac{1}{n} + 3\frac{r}{n^2}}{1 + (\frac{r}{n})^2} = \lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \frac{1 + 3(\frac{r}{n})}{1 + (\frac{r}{n})^2}$ प्राप्त होता है।निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हमारे पास $\int_0^1 \frac{1+3x}{1+x^2} dx$ है।इसे $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx + 3 \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx$ में विभाजित किया जा सकता है।समाकलन का मूल्यांकन करने पर, हमें $[	an^{-1} x]_0^1 + \frac{3}{2} [\ln(1+x^2)]_0^1$ प्राप्त होता है।$= (\frac{\pi}{4} - 0) + \frac{3}{2} (\ln 2 - \ln 1) = \frac{\pi}{4} + \frac{3}{2} \ln 2$.

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{n+3}{n^2+1^2}+\frac{n+6}{n^2+2^2}+\frac{n+9}{n^2+3^2}+\ldots+\frac{2}{n}\right]=$

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यदि $f(n) = \frac{1}{n} [(n+1)(n+2)(n+3) \ldots (2n)]^{\frac{1}{n}}$ है, तो $\lim_{n \rightarrow \infty} f(n) =$

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \left( \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n^{3}}}+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{(n+4)^{3}}}+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{(n+8)^{3}}}+\cdots +\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{[n+4(n-1)]^{3}}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{1 + {2^4} + {3^4} + .... + {n^4}}}{{{n^5}}} - \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{1 + {2^3} + {3^3} + .... + {n^3}}}{{{n^5}}} = $

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