int_0^{32 pi} sqrt{1-cos 4 x} , dx = (sqrt{2} | vedclass

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Question

(D) हम जानते हैं कि $1 - \cos 4x = 2 \sin^2(2x)$.अतः, $\sqrt{1 - \cos 4x} = \sqrt{2 \sin^2(2x)} = \sqrt{2} |\sin 2x|$.समाकलन $\int_0^{32 \pi} \sqrt{2}

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$64$

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(D) हम जानते हैं कि $1 - \cos 4x = 2 \sin^2(2x)$.अतः, $\sqrt{1 - \cos 4x} = \sqrt{2 \sin^2(2x)} = \sqrt{2} |\sin 2x|$.समाकलन $\int_0^{32 \pi} \sqrt{2} |\sin 2x| \, dx = \sqrt{2} \int_0^{32 \pi} |\sin 2x| \, dx$ हो जाता है।चूंकि $|\sin 2x|$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $\frac{\pi}{2}$ है, और अंतराल $[0, 32 \pi]$ में $\frac{32 \pi}{\pi/2} = 64$ आवर्तकाल हैं।अतः, $\int_0^{32 \pi} |\sin 2x| \, dx = 64 \int_0^{\pi/2} \sin 2x \, dx$.समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $64 \left[ -\frac{\cos 2x}{2} \right]_0^{\pi/2} = 64 \left( -\frac{\cos \pi}{2} - (-\frac{\cos 0}{2}) \right) = 64 \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) = 64$.अचर $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर, अंतिम उत्तर $64 \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

$\int_0^{32 \pi} \sqrt{1-\cos 4 x} \, dx =$ ($\sqrt{2}$ में)

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